Алгебра и геометрия
70 вопросов · по Тыртышникову0/70
Раздел 1. Линейные пространства. Пространства со скалярным произведением
1
Неравенство Коши—Буняковского—Шварца.
2
Процесс ортогонализации Грама—Шмидта и QR-разложение матрицы.
3
Матрица Грама и критерий линейной зависимости.
4
Общий вид скалярного произведения в конечномерном пространстве.
5
Задача о наилучшем приближении вектора на конечномерном подпространстве в пространстве со скалярным произведением.
Раздел 2. Линейные операторы
6
Матрица линейного оператора в паре базисов. Изменение матрицы оператора при изменении пары базисов.
7
Эквивалентность матриц, подобие матриц и инварианты подобия.
8
Ядро и образ линейного оператора. Соотношение между рангом и дефектом линейного оператора.
9
Обратимый оператор. Критерий обратимости. Линейность обратного оператора.
10
Оператор проектирования.
11
Собственные значения и собственные векторы. Характеристический многочлен линейного оператора (матрицы).
12
Геометрическая и алгебраическая кратность собственного значения.
13
Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы. Критерий диагонализуемости.
14
Верхняя треугольная форма матрицы линейного оператора в комплексном пространстве.
15
Многочлен от линейного оператора (матрицы). Теорема Гамильтона—Кэли.
16
Нильпотентные и квазискалярные операторы (матрицы). Критерий нильпотентности.
17
Прямая сумма линейных операторов (матриц). Теорема о расщеплении вырожденного оператора.
18
Корневое расщепление линейного оператора.
19
Нерасщепляемые операторы и подпространства Крылова.
20
Условие линейной независимости составной системы векторов Крылова нильпотентного оператора.
21
Максимальное расщепление и жорданова форма нильпотентного оператора.
22
Теорема Жордана о структуре линейного оператора.
23
Единственность жордановой формы линейного оператора (матрицы).
24
Критерий подобия комплексных матриц.
25
Блочно-диагональная жорданова форма вещественной матрицы.
26
Минимальный многочлен матрицы (оператора).
27
Условие совпадения минимального и характеристического многочленов.
Раздел 3. Линейные операторы в пространствах со скалярным произведением
28
Существование, линейность, единственность сопряжённого оператора.
29
Матрицы оператора и сопряжённого к нему в паре биортогональных базисов.
30
Критерии нормальности оператора (матрицы).
31
Критерии унитарности и эрмитовости оператора (матрицы).
32
Эрмитово разложение оператора (матрицы) и эрмитовость знакоопределённого оператора в унитарном пространстве.
33
Существование и единственность неотрицательно определённого квадратного корня из неотрицательно определённой матрицы.
34
Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.
35
Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы. Матрицы вращения и отражения.
36
Полярное разложение оператора (матрицы).
37
Сингулярное разложение линейного оператора (матрицы).
38
Три формы записи сингулярного разложения.
39
Вариационные свойства собственных значений эрмитовых матриц, теорема Куранта—Фишера. Вариационные свойства сингулярных чисел.
40
Соотношения разделения собственных значений эрмитовой матрицы и её главной подматрицы. Соотношения разделения для сингулярных чисел.
Раздел 4. Билинейные и квадратичные формы
41
Закон сохранения инерции эрмитовой матрицы при переходе к эрмитово конгруэнтной матрице.
42
Квадратичные и эрмитово квадратичные формы и их приведение к алгебраической сумме квадратов.
43
Общий вид линейного функционала и эрмитовой билинейной формы в конечномерном пространстве со скалярным произведением.
Раздел 5. Линейные нормированные пространства. Операторные уравнения
44
Тождество параллелограмма и критерий евклидовости нормы.
45
Теорема об эквивалентности норм в конечномерном пространстве.
46
Операторная норма, порождённая векторными нормами. Матричные нормы.
47
Непрерывность и ограниченность линейного оператора.
48
Норма Фробениуса и спектральная норма матрицы. Унитарно инвариантные нормы.
49
Спектральный радиус и круги Гершгорина.
50
Ряд Неймана. Теорема Бауэра—Файка.
51
Теорема Вейерштрасса в метрическом пространстве.
52
Неравенства Юнга, Гёльдера и Минковского.
53
Критерий компактности единичной сферы в нормированном пространстве.
54
Геометрические свойства единичных шаров и функционал Минковского.
55
Теорема и альтернатива Фредгольма для линейных операторных уравнений в унитарных пространствах.
56
Метод наименьших квадратов и нормальное псевдорешение.
57
Псевдообратная матрица и условия Мура—Пенроуза.
58
Наилучшее приближение вектора на замкнутом выпуклом множестве.
59
Существование элемента наилучшего приближения вектора на замкнутом множестве в конечномерном подпространстве нормированного пространства.
60
Размерность замкнутого выпуклого множества.
61
Внутренние точки выпуклого множества. Лучи, выходящие из внутренней точки выпуклого множества.
62
Наилучшее приближение матрицы на множестве матриц меньшего ранга в спектральной норме и норме Фробениуса.
Раздел 6. Полиэдры и неравенства
63
Разделяющие и опорные гиперплоскости.
64
Полиэдры и многогранники. Проекция полиэдра.
65
Конечнопорождённый конус и однородный полиэдр.
66
Рёбра конуса. Вершины полиэдра и рёбра ассоциированного конуса.
67
Общее решение системы линейных неравенств.
68
Лемма Фаркаша и системы неоднородных неравенств.
69
Теорема о вложенности полиэдров.
70
Экстремумы линейных функционалов на полиэдре.