Линейная алгебра
34 билета · по Тыртышникову0/34
1
Определение линейного оператора. Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора. Обратный оператор. Проекторы.
2
Матрицы линейного оператора в различных базисах. Эквивалентность и подобие матриц. Критерий эквивалентности матриц. Произведение линейных операторов и его матрица.
3
Характеристический многочлен линейного оператора. Определитель и след. Многочлен от оператора. Аннулирующие многочлены. Минимальный многочлен. Теорема Кэли–Гамильтона.
4
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Собственное подпространство линейного оператора. Геометрическая и алгебраическая кратности собственного значения. Диагонализуемые операторы (операторы простой структуры).
5
Инвариантные подпространства. Сужение оператора (индуцированный оператор). Прямая сумма операторов. Инвариантность ядра и образа многочленов от оператора. Корневое разложение линейного оператора.
6
Нильпотентные операторы и их собственные значения. Разложение линейного оператора в прямую сумму нильпотентного и обратимого операторов.
7
Минимальные инвариантные пространства, содержащие заданный вектор. Пространства Крылова. Нерасщепляемость инвариантных пространств Крылова для нильпотентного оператора.
8
Разложение нильпотентного оператора в прямую сумму операторов на инвариантных пространствах Крылова.
9
Жорданова форма комплексной матрицы. Критерий подобия матриц.
10
Блочная жорданова форма вещественной матрицы.
11
Метрическое пространство. Сходящиеся и фундаментальные последовательности. Полнота. Ограниченные, замкнутые, компактные множества.
12
Нормированное пространство. Нормы Гёльдера. Неравенства Гёльдера и Минковского.
13
Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. Компактность замкнутого ограниченного множества в конечномерном пространстве. Некомпактность единичной сферы в бесконечномерном пространстве.
14
Задача о наилучшем приближении на конечномерном подпространстве нормированного пространства.
15
Скалярное произведение в вещественном и комплексном пространствах. Неравенство Коши–Буняковского–Шварца. Угол между векторами в евклидовом пространстве. Теорема Пифагора.
16
Длина вектора и тождество параллелограмма.
17
Матрица Грама и общий вид скалярного произведения в конечномерном пространстве.
18
Ортонормированные базисы и унитарные матрицы. Ортогональные матрицы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. QR-разложение матрицы. Ортогональные многочлены и трёхчленные рекуррентные соотношения.
19
Задача о наилучшем приближении на выпуклом замкнутом множестве в конечномерном евклидовом пространстве. Разделяющая гиперплоскость.
20
Барицентрические и выпуклые комбинации векторов. Аффинные и выпуклые оболочки множеств. Выпуклые многогранники, симплексы, полиэдры. Замкнутость конечнопорожденного конуса. Аффинные (линейные) неравенства и теорема Фаркаша.
21
Непрерывность и ограниченность линейного оператора. Норма линейного оператора. Непрерывные линейные функционалы и скалярное произведение (теорема Рисса).
22
Сопряжённый оператор. Существование и единственность. Матрица сопряжённого оператора.
23
Теорема Шура. Нормальные, унитарные, эрмитовы операторы и матрицы и их спектральные разложения.
24
Эрмитово разложение. Знакоопределённые операторы и матрицы. Квадратный корень из оператора.
25
Блочная жорданова форма вещественной нормальной матрицы и ортогональной матрицы.
26
Сингулярные числа и сингулярные векторы матрицы. Сингулярное и полярное разложения.
27
Ортогональные дополнения ядра и образа линейного оператора (матрицы). Альтернатива Фредгольма.
28
Матричные нормы. Унитарно инвариантные нормы. Спектральная норма. Спектральный радиус и нормы.
29
Сингулярное разложение матрицы и обобщённые решения линейных систем. Нормальное псевдорешение. Псевдообратная матрица.
30
Сингулярное разложение матрицы и её приближения матрицами меньшего ранга.
31
Теорема Куранта–Фишера о собственных значениях эрмитовой матрицы. Соотношения разделения для эрмитовых матриц и их ведущих подматриц. Соотношения разделения для сингулярных чисел произвольной матрицы и её подматриц, составленных из части столбцов (строк).
32
Положительно (неотрицательно) определённые матрицы. Критерии положительной и неотрицательной определённости эрмитовой матрицы.
33
Билинейные и полуторалинейные формы. Квадратичные формы. Приведение к алгебраической сумме квадратов, приведение к главным осям. Одновременное приведение пары квадратичных форм. Конгруэнтность и эрмитова конгруэнтность. Закон инерции квадратичных форм.
34
Представление обратной матрицы рядом Неймана. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда Неймана. Число обусловленности невырожденной матрицы. Матрицы с диагональным преобладанием и круги Гершгорина.