🧠 Математический анализ

1

Определение локального экстремума функции (строгого и нестрогого). Необходимое условие экстремума (теорема Ферма, без доказательства). Первое и второе достаточные условия экстремума.

2

Определение локального экстремума функции (строгого и нестрогого). Необходимое условие экстремума (теорема Ферма, без доказательства). Третье достаточное условие экстремума.

3

Определение функции, выпуклой вверх (вниз). Достаточное условие выпуклости. Определение точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба.

4

Определение точки перегиба графика функции. Достаточные условия перегиба.

5

Определение асимптот графика функции (вертикальная, наклонная, горизонтальная). Теорема о наклонных асимптотах. Общая схема исследования графика функции.

6

Определение интегрируемости функции. Необходимое условие интегрируемости. Леммы Дарбу о верхних и нижних суммах (первые четыре леммы Дарбу).

7

Определение верхнего и нижнего интегралов Дарбу. Леммы Дарбу о верхнем и нижнем интегралах Дарбу (пятая и шестая леммы). Критерий интегрируемости (в терминах верхних и нижних сумм).

8

Теорема об интегрируемости непрерывной функции. Достаточное условие интегрируемости функции, имеющей разрывы.

9

Теорема об интегрируемости монотонной функции. Интегрируемость композиции функций.

10

Основные свойства определённого интеграла (линейность, интегрируемость произведения, интегрируемость на подотрезках, аддитивность). Оценки интегралов (интегрирование неравенств, условие строгой положительности интеграла от неотрицательной функции, интегрируемость модуля).

11

Первая теорема о среднем значении и следствие из неё. Вторая теорема о среднем (без доказательства).

12

Определение и свойства интеграла с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона–Лейбница).

13

Формулы замены переменного и интегрирования по частям в определённом интеграле. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.

14

Определение плоской кривой, простой кривой, параметризуемой кривой. Понятие длины плоской кривой. Теорема о длине дуги кривой, заданной параметрически. Следствия — формулы длины кривой, заданной в декартовых и в полярных координатах.

15

Понятие квадрируемости (площади) плоской фигуры. Критерий квадрируемости через приближение простейшими (лемма 1). Площадь криволинейной трапеции.

16

Понятие квадрируемости (площади) плоской фигуры. Критерий квадрируемости через приближение квадрируемыми (лемма 2). Площадь криволинейного сектора.

17

Понятие кубируемости (объёма тела). Критерий кубируемости через приближение простейшими (лемма 1). Кубируемость цилиндрических тел.

18

Понятие кубируемости (объёма тела). Критерий кубируемости через приближение кубируемыми (лемма 2). Кубируемость тел вращения (вокруг оси Ox).

19

Определение несобственного интеграла (первого и второго рода). Формулы замены переменного и интегрирования по частям для несобственных интегралов первого рода. Критерий Коши и признак сравнения для несобственных интегралов первого рода.

20

Понятие условной и абсолютной сходимости. Признак Абеля (для интегралов первого рода). Главное значение несобственного интеграла (первого и второго рода).

21

Понятие условной и абсолютной сходимости. Признак Дирихле (для интегралов первого рода). Главное значение несобственного интеграла (первого и второго рода).

22

Метод прямоугольников вычисления определённых интегралов (с выводом оценки погрешности). Метод Симпсона (без вывода, только оценка).

23

Метод трапеций вычисления определённых интегралов (с выводом оценки погрешности).

24

Понятие пространства ℝⁿ, различные множества точек в ℝⁿ. Утверждение о трёх эквивалентных определениях замкнутого множества в ℝⁿ.

25

Определение последовательности точек n-мерного действительного пространства. Критерий Коши сходимости последовательности в ℝⁿ. Теорема Больцано–Вейерштрасса в ℝⁿ.

26

Понятие функции n переменных и её предельного значения. Теорема об арифметике пределов, критерий Коши существования предела функции в ℝⁿ.

27

Непрерывность функции n переменных. Локальные свойства непрерывных функций: арифметические операции, сохранение знака, локальная ограниченность, непрерывность сложной функции.

28

Непрерывность функции n переменных. Глобальные свойства непрерывных функций: теорема о прохождении через промежуточное значение, 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса.

29

Понятие равномерной непрерывности функции n переменных. Теорема Кантора.

30

Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных. Эквивалентность двух форм записи остаточного члена. Необходимое условие дифференцируемости. Касательная плоскость к поверхности графика функции z = f(x, y).

31

Понятие дифференцируемости функции n переменных. Эквивалентность двух форм записи остаточного члена. Достаточное условие дифференцируемости.

32

Дифференцирование сложной функции n переменных. Понятие (первого) дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

33

Производная по направлению. Градиент. Геометрический смысл градиента. Формула для вычисления производной по направлению функции, дифференцируемой в данной точке.

34

Понятие частной производной высокого порядка. Теоремы о равенстве смешанных производных.

35

Понятие дифференциала высокого порядка функции n переменных. Формула Тейлора для функции n переменных.

36

Понятие экстремума функции n переменных. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума.

37

Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции.

38

Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.

39

Понятие зависимости функций. Достаточные условия независимости. Примеры.

40

Понятие зависимости функций. Теорема о функциональной зависимости.

41

Метод Лагранжа поиска условного экстремума ФМП.